Matematiksel Eğrilerle İlgili Eski Bir Problemi Genç Çift Çözdü!

Eric Larson ve Isabel Vogt, geometrideki en temel nesnelerden bazıları hakkında asırlık bir soru olan enterpolasyon problemini oturma odalarındaki kara tahtada çözdüler.

Düzlemdeki herhangi iki noktayı bir doğruyla birleştirebileceğiniz binlerce yıldır bilinen bir geometri gerçeğidir. İki noktanın üstüne çıktığınızda bir anda şansınız sıfırlanır. Ancak herhangi üç noktayı kullanarak bir daire çizebilir, veya herhangi beş noktayı kullanarak bir konik bölüm (elips, parabol veya hiperbol) oluşturabilirsiniz. Enterpolasyon, herhangi büyüklükte bir boyuttaki herhangi sayıda noktayı hangi eğrilerin bir araya getirdiğini inceleyen bir matematik alanıdır. Stanford Üniversitesi’nde matematikçi olan Ravi Vakil, “Bu sadece eğrilerin ne olduğunu anlama uğraşı” diyerek bu sorunu tanımlamıştır.

Gelişmiş teknolojiler bile yüksek boyutlardaki eğrileri incelemekte güçlük çekmektedir. İki boyutlu uzayda, bir eğri tek bir denklemle kesilebilir: y = 3x − 7 şeklinde bir doğru, veya x2 + y2 = 1 şeklinde bir çember bunun için yeterlidir. Ancak üç veya daha fazla boyutlu uzaylarda bir eğri çok daha karmaşık hale gelir ve çoğu zaman o kadar çok denklemle tanımlanır ki, geometrisini tam olarak anlamayı umamazsınız.

Yüzyıllardır matematikçiler çeşitli enterpolasyon problemlerini incelemektedir: Örneğin, belirli özelliklere sahip bir eğriyi üç boyutlu uzayda 16 noktadan veya beş boyutlu uzayda bir milyar noktadan geçirebilir misiniz? Bu çalışmalar sadece cebirsel geometri için değil, aynı zamanda kriptografi, dijital depolama ve saf matematiğin çok ötesindeki diğer alanlar için de önemlidir. Yine de Vakil, çoğu eğri için enterpolasyonu anlamanın yeterli olmadığını söylemiştir. Matematikçiler, evrensel kurallarla çalışmayı severler.

Brown University’de çalışan iki genç matematikçi; Eric Larson ve Isabel Vogt, bu yılın başlarında yayınladıkları bir ispatta bu sorunu çözdüler. Evliliklerinin yaklaşık on yılı boyunca üzerindeki durdukları bu çalışmalarıyla, bu konuyu nihai olarak kapatmış gibi görünüyorlar.

Eğriler

Eğri, daha yüksek boyutlu bir alana oturan tek boyutlu bir nesnedir. Eğrileri tanımlamak için belirli denklemler olsa da, matematikçilerin kullandığı daha iyi yollar vardır. Bunlardan ilki, eğrinin içinde yaşadığı uzayın boyutudur. İkincisi, eğrinin derecesidir. Eğrinin derecesi, eğrinin içinde bulunduğu uzaydan bir küçük büyüklükteki uzaydaki bir nesneyle kesişme sayısıdır. Örneğin, iki boyutlu düzlemdeki bir dairenin derecesi 2’dir, çünkü tek boyutlu bir çizgiyle dilimlendiğinde, çizgi genellikle ona iki noktadan çarpar. Bu arada, 20 boyutlu uzaya gömülü bir eğrinin derecesi, 19 boyutlu bir hiperdüzlemle kesişme sayısıdır. Dereceyi, eğrinin ne kadar bükülmüş olduğunun bir ölçüsü olarak düşünebilirsiniz. Matematikçilerin bir eğriyi tanımlamak için kullandıkları üçüncü ölçek, cinsidir. Eğri, karmaşık sayılarla tanımlanan tek boyutlu bir nesne olduğundan, noktalarının her biri bir karmaşık sayı yerine bir çift gerçek sayı olarak da yazılabilir. Bu, topolojik bir bakış açısından, bir eğrinin aslında iki boyutlu bir yüzeye benzediği ve bu yüzeyin deliklere sahip olabileceği anlamına gelir. (Tipik bir örnek, bir çöreğin yüzeyidir.) O halde, bir eğrinin cinsi, kaç deliğe sahip olduğudur.

1870’lerde, Alexander von Brill ve Max Noether (ünlü matematikçi Emmy Noether’in babası) yalnızca üç özelliği kullanarak yeni bir formül ürettiler: cins (g) veya sahip olduğu delik sayısı; (d) derecesi veya bükülmesi; ve eğrinin içinde yaşadığı boyutların (r) sayısı. Belirli bir cinsin bir eğrisini, ancak ve ancak bu eğrinin derecesi yeterince büyükse, belirli sayıda boyutlu bir uzaya gömebileceğinizi varsaydılar – yani , eğri yeterince esnek ise. G, d ve r cinsinden kesin bir eşitsizlik yazdılar ve yalnızca bu eşitsizlik korunursa seçtiğiniz bir eğrinin mümkün olacağını savundular. Ancak bunu ispatlayamadılar. Bu ispat, 1980’de Phillip Griffiths ve Joe Harris’in Brill-Noether teoremiyle yüz yıl sonra gelecekti. 1980’den bu yana, gelişmiş teknolojilerin de sayesinde yüzlerce farklı ispat geliştirildi. Bu sayede, enterpolasyon probleminin çözümü için kapı açılmış oldu.

Soruna gelelim

Larson, bu sorunla ilgilenmeye başladı bu sorunun kendi deyimiyle bir mezarlık gibi olduğunu fark etti. Binlerce yıldır çözülmemiş bir sorunla uğraşıyordu.

Larson pes etmedi  ve 2017’de kendisini bu alanda yükselen bir yıldız haline getiren tam bir kanıt sundu. Bu kanıtın anahtarı, enterpolasyon probleminin çeşitli durumlarını çözmeyi içeriyordu. Larson, bir eğriyi birden çok eğriye bölüp, özelliklerini inceleyip, onları doğru şekilde tekrar yapıştırmayı düşünmüştü. Bu daha basit eğrileri birbirine yapıştırmak için, her birinin aynı nokta grubundan geçmesini sağlamak zorundaydı – bu da bir enterpolasyon problemini kanıtlamak anlamına geliyordu. Larson, “Enterpolasyon size bu [daha karmaşık] eğrileri oluşturmak için bir araç sunar” dedi.

Vogt hâlihazırda enterpolasyon üzerinde çalışıyordu. Lisansüstünde yazdığı ilk makalesinde, üç boyutlu uzayda tüm enterpolasyon durumlarını (tüm istisnalar dahil) kanıtlamıştı; Ertesi yıl, sorunu dört boyutlu uzayda da çözmek için Larson ile birlikte çalıştı. Aynı yıl – ki bu aynı zamanda Larson’ın maksimum rütbe kanıtını* yayınladığı yıldı – evlendiler. O zamandan beri, akşam yemeğinden sonra kendilerini sık sık fikirleri tartışırken, evlerindeki kara tahtalarda problemler üzerinde çalışırken buldular.

Enterpolasyon problemini çözmek için ikili, eğrinin uzayda belirli bir şekilde hareket ettiğini gösterdiler. Örneğin bir doğru üzerindeki üç noktayı ele alalım. Bir noktayı çizgiden biraz uzaklaştırır, ancak diğer iki noktayı sabit tutarsanız, çizgiyi hiçbir şekilde yeni nokta konfigürasyonundan geçmesine izin verecek şekilde kaydıramazsınız. Üçünü birden vurmaya çalışmak, çizgiyi bükülmeye zorlar, böylece artık çizgi olmaz. Ve böylece bir doğru iki noktadan enterpolasyon yapabilir ama üç noktayı geçemez. Genç çift, daha yüksek boyutlu uzaylarda daha karmaşık eğriler için benzer bir şey bulmak istediler.

Bunun için, eğrinin normal demeti adı verilen ve temelde eğrinin nasıl hareket edebileceğini kontrol eden bir yapıya bakmaları gerekiyordu. Enterpolasyon sorusu daha sonra bir eğrinin normal demetinin özellikleri hakkında bir problem olarak yeniden yazılabilir. Ancak bunlar, Larson ve Vogt’un ilgilendiği daha karmaşık eğriler için çok zor olacaktı. Bu yüzden Larson’ın maksimal sıra varsayımının ispatında kullandığına benzer bir strateji kullandılar. Bir eğri verildiğinde onu parçalara ayırdılar. Basit bir örnek alın. Düzlemde bir hiperbolünüz olduğunu varsayalım, birbirine bakan bir çift ayna görüntüsü yayı gibi görünen tek bir eğriniz olsun. Bu eğriyi, iki basit eğriye, bu durumda X şeklinde birbirini kesen bir çift çizgiye bölünene kadar “deforme edebilirsiniz”. Hiperbol geometrisinin bazı yönleri hala bu çizgilerin geometrisine yansır. Ancak çizgiler daha basit olduğu için çalışmak daha kolaydır ve normal paketlerini analiz etmek daha kolaydır.

Elbette, Larson ve Vogt hiperbollere ve çizgilere değil, çok daha karmaşık durumlara bakıyorlardı. Karmaşık bir eğriyi iki parçaya bölerek başlayacaklardı: bir doğru ve bu doğruyla bir ya da iki noktada buluşan daha basit (ama yine de karmaşık) bir eğri. Daha sonra daha karmaşık eğriyi ikiye bölüp, her şeyi gerçekten basit “temel” eğrilere indirgeyene kadar işlemi tekrar tekrar tekrar ettiler. Ancak bunlar yeterli değildi. Brill-Noether teoreminin kapsadığı tüm eğri türleri için çalışmadılar. Larson ve Vogt, eğrilerini parçalamak için yeni bir yöntem sunmak zorunda kaldılar, parçalardan birinin çizgi olmasını içermeyen bir yöntem. Bu bir meydan okumaydı.

Sonunda bunu yapmanın bir yolunu buldular. Larson ve Vogt ile sık sık işbirliği yapan Illinois Üniversitesi’nden matematikçi İzzet Coşkun da aynı fikirde. Eric biraz korkutucu, dedi. “Çoğumuz 12 eşitsizlik görüyoruz, vazgeçiyoruz ve gözlerimiz parlıyor… ama pes etmiyor. Onun için çok karmaşık bir şey yok.” Sonuç olarak, Larson ve Vogt, dört özel durum dışında, eğrilerin her zaman beklenen sayıda nokta üzerinden enterpolasyon yapacağını kanıtladı. Bu dört tip eğrinin neden beklenmedik sayıda noktadan enterpolasyon yaptığına dair geometrik nedenler sağladılar. Bununla, sorunu bir kez ve herkes için tamamlamış oldular.

Bu kanıt, bir anlatı dizisinin sonunu işaret ediyor olsa da, hem matematiksel hem de kişisel bir bakış açısıyla, hikaye henüz bitmedi. Eğriler hakkında sorabileceğiniz hiçbir soru yok. Ve Larson ve Vogt’un çalışması, bu merkezi ama anlaşılması zor matematiksel nesnelere ulaşmak için bir çeşit reçete sunuyor. Coşkun, “Artık birçok klasik sorunun daha ulaşılabilir olduğunu düşünüyorum” dedi. “Düşünmeye başlamanın bir yolu olmadığını düşündüğümüz şeyleri… artık sorabiliriz!”

Yazan: Jordana Cepelewicz
Çeviren: M.Alperen Yaşar
Yayına Hazırlayan: Hüseyin Türker

Kaynak:

• Old Problem About Mathematical Curves Falls to Young Couple

* Eric Larson’un Eğriler için Maximum Sıra Varsayımı Son birkaç yüzyılda cebirsel geometride çalışmanın merkezi bir konusu, karmaşık yansıtmalı uzayda cebirsel eğriler olmuştur.